מבנים אלגבריים עוזי וישנה

מבנים אלגבריים עוזי וישנה

מבנים אלגבריים מהדורה 2.58 למתרגל הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'מבנים אלגבריים' למדעי המחשב, 89-214, באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של שעתיים הרצאה ושעה תרגיל, לאורך סמסטר אחד) מכסה שלושה נושאים: חבורות (עד המיון של חבורות אבליות סופיות, אך ללא משפטי סילו או סדרות הרכב), חוגים (בעיקר קומוטטיביים, ומאלה החומר הנחוץ לפירוק פולינומים ובניה של שדות) ושדות (סופיים). מצאתי לנכון להקדים מבוא לתורת המספרים, שבמהלכו פוגשים בדרך רמז גם את עקרונות היסוד של תחומי השלמות. החוברת מבוססת על חוברות תרגילים שכתבתי לקורסים בתורת החבורות (88-211) ובתורת החוגים (88-212). החומר מחולק לסעיפים ותת סעיפים, המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר, תוך שילוב של כמה דוגמאות נחוצות. בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות, כשהן פרושות למספר רב של תרגילים נוחים לעיכול. כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים. המהדורה הארוכה, המונחת לפניכם, כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים, בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי יותר. סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות, כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות הדרושים כדי לפתור אותו (אך בכפוף לאילוץ המקובל, והמתסכל במידת מה, הקובע שסדר המשפטים בעמוד מוכרח להיות קווי). תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין. החידוש, במידה שיש כאן כזה, הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל: תרגילים קלים, מדרגה (*), דורשים בדרך כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר - ורצוי - לפתור בעל פה, תוך ציון ההגדרה או העובדה הרלוונטית. תרגילים טכניים מורכבים, לא רגילים או סתם קשים סומנו ב (***). שאר התרגילים קיבלו את הציון (**). סימנים נוספים, כמו ב (**+) או (** ), מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל יותר מכפי שנראה במבט ראשון. מספר התרגילים מספיק כדי לפתור חלק מן התרגילים בכיתה, חלק כתרגילי בית, ואת השאר לקראת המבחן, אבל בדרך כלל נמנעתי מלתת וריאציות קלות על תרגילים קיימים. במספר מקומות הרחבתי מעבר לרמה הנדרשת בקורס. כל התרגילים מנוסחים בלשון זכר, ועם הלומדות הסליחה. אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות, השמטות, כפילויות או שגיאות כתיב, כדי שאוכל לתקנם במהדורה הבאה. עוזי וישנה, 9.2010 2

תוכן עניינים 5 מבוא לתורת המספרים 1 5............................. המספרים השלמים 1.0 6................................ יחס החלוקה 1.1 6 אוקלידיות.................................. 1.2 7 המחלק המשותף המקסימלי......................... 1.3 9 ראשוניים ופירוק לגורמים.......................... 1.4 10.............................. שקילות מודולו n 1.5 2 חבורות למחצה ומונוידים 13 2.1 חבורות למחצה............................... 13 2.2 מונוידים................................... 14 3 חבורות ותת חבורות 17 3.1 חבורות................................... 17 3.2 סדר של חבורה............................... 19 3.3 דוגמאות לחבורות.............................. 19 3.4 אבליות................................... 23 3.5 מכפלה ישרה חיצונית............................ 24 3.6 תת חבורות................................. 25 27 משפט לגרנז' 4 27.................. יוצרים של חבורה ותת החבורה הנוצרת 4.1 29 קוסטים ומשפט לגרנז'............................ 4.2 30 סדר של איבר................................ 4.3 31 יישומים בתורת המספרים.......................... 4.4 34.............................. שימושים להצפנה 4.5 35 חבורות ציקליות............................... 4.6 37 כפל תת חבורות............................... 4.7 39 הומומורפיזמים ותת חבורות נורמליות 5 39............................... הומומורפיזמים 5.1 39................................ גרעין ותמונה 5.2 41 תת חבורה נורמלית............................. 5.3 42................................. חבורת מנה 5.4 3

תוכן עניינים תוכן עניינים 5.5 משפט האיזומורפיזם הראשון........................ 44 45 סריג תת החבורות 6 45....................... חיתוך ומכפלה של תת חבורות 6.1 45............................ מכפלה ישרה פנימית 6.2 47............................ משפטי האיזומורפיזם 6.3 48............................. סריג תת החבורות 6.4 49 אינדקס של תת חבורות........................... 6.5 50 משפט ההתאמה............................... 6.6 7 הצמדה ומחלקות הצמידות 51 7.1 המר כּ ז.................................... 51 7.2 מרכ זים................................... 53 7.3 מחלקות צמידות.............................. 54 7.4 שוויון המחלקות............................... 58 8 אוטומורפיזמים 61 8.1 חבורת האוטומורפיזמים........................... 61 8.2 המנרמל................................... 64 9 חבורות של תמורות 67 9.1 משפט קיילי................................. 67 9.2 הסימן של תמורה.............................. 68 9.3 תמורות מקריות............................... 72 75 10 חבורות אבליות 75 תת חבורת הקומוטטורים.......................... 10.1 77................................. משפט קושי 10.2 78................................. האקספוננט 10.3 79.............................. 10.4 הפירוק הפרימרי 80 10.5 חבורות p אבליות.............................. 81................... 10.6 משפט המיון לחבורות אבליות סופיות 84......................... חבורות אבליות אינסופיות 10.7 87 11 מבוא לחוגים 87 חוגים, תת חוגים ואידיאלים......................... 11.1 89.......................... הומומורפיזמים וחוגי מנה 11.2 90......................... אידיאלים בחוג קומוטטיבי 11.3 92................................ תחומי שלמות 11.4 12 מבוא לשדות סופיים 97 12.1 שורשים של פולינומים............................ 97 12.2 שדות.................................... 98 12.3 שדות סופיים................................ 99 4

פרק 1 מבוא לתורת המספרים לפרק הראשון מטרה משולשת: נפגוש את הדוגמא הראשונה למערכת אקסיומות פשוטה (התכונות הבסיסיות של פעולות החשבון ויחס בין המספרים הטבעיים) שאפשר להוציא ממנה מסקנות מרחיקות לכת (הפירוק היחיד לגורמים); נתאמן בשיטות האלמנטריות של תורת החוגים, שעוד נכליל בהמשך; וחשוב מכל, נקבל כמה תוצאות חיוניות לבניית הדוגמאות שנראה בהמשך הקורס. מושגים: יחס החלוקה, מחלק משותף מקסימלי; חילוק עם שארית ואלגוריתם אוקלידס; איברים זרים; מספרי אי פריק ומספר ראשוני. פירוק יחיד לגורמים. שקילות מודולו n. משפט השאריות הסיני. 1.0 המספרים השלמים בפרק זה, מערכת המספרים השלמים היא המערכת הכוללת מלבד הקבוצה Z של המספרים השלמים, גם את פעולות החיבור (+) והכפל ( ) ואת יחס הסדר (> ו ), עם התכונות המוכרות מבית הספר היסודי:,a + (b + c) = (a + b) + c אם a < b ו c < 0 אז,ac < bc וכדומה (בקורס הזה נדלג על הפיתוח המסודר של השלמים מתוך מערכת פאנו של המספרים הטבעיים, ובמקום זה נניח את תוצאת הפיתוח כאקסיומות). את הערך המוחלט מגדירים לפי יחס הסדר: a = a אם 0 a, ו a a = אם.a < 0 קבוצת המספרים הטבעיים 0} a N = {a Z : מקיימת את תכונת הסדר הטוב, שלפיה לכל קבוצה לא ריקה יש איבר מינימלי. תרגיל (**) 1.0.1 הסק מתכונת הסדר הטוב את אקסיומת האינדוקציה: אם A N היא קבוצה המקיימת את שתי ההנחות,0 A לכל,n N אם n A אז,n + 1 A 5 אז.A = N

1.1. יחס החלוקה פרק 1. מבוא לתורת המספרים 1.1 יחס החלוקה מגדירים יחס בינארי על המספרים השלמים: הגדרה a") a b 1.1.1 מחלק את (''b אם קיים c Z כך ש.b = ac תרגיל (*) 1.1.2 הוכח שהיחס טרנזיטיבי ורפלקסיבי. יחס כזה נקרא קדם סדר. תרגיל (*) 1.1.3 יחס החלוקה אינו אנטי סימטרי (ולכן הוא איננו יחס סדר חלקי חלש). תרגיל (*) 1.1.4 אם a b ו 0 b אז b. a תרגיל (**) 1.1.5 מצא את האיברים המינימליים והמקסימליים ביחס לקדם סדר שהגדרנו. הגדרה 1.1.6 האיברים a, b Z הם חברים אם b a ו b.a במקרה כזה מסמנים.a b תרגיל (+*) 1.1.7 הראה ש b,a חברים אם ורק אם b. = a± תרגיל (+*) 1.1.8 הוכח שיחס החברות הוא יחס שקילות. תרגיל (*) 1.1.9 כתוב במפורש את מחלקת החברות של המספר a. המחלקות אותו גודל? יחס החברות מאפשר לעדן ולשפר את יחס החלוקה. הגדרה 1.1.10 מחלקת החברות [a] מחלקת את [b] אם a. b האם לכל תרגיל (**) 1.1.11 הוכח שיחס החלוקה בין מחלקות מוגדר היטב. כלומר, אם a a ו b,b אז a b אם ורק אם b.a משפט 1.1.12 היחס 'מחלק' הוא יחס סדר חלש (כלומר, אנטיסימטרי, רפלקסיבי וטרנזיטיבי) על אוסף מחלקות החברות ב Z. העובדה שיחס החלוקה אינו יחס סדר על Z 'מאכזבת' ומפריעה. הפתרון הטבעי הוא לצמצמם את ההסתכלות אל קבוצת המספרים הטבעיים, N, שהיא תת קבוצה מיוחדת של המספרים השלמים, הסגורה לחיבור וכפל, ומכילה נציג אחד מכל מחלקת חברות. בניגוד לפתרון הזה, שאינו זמין בחוגים אחרים, המעבר למחלקות חברות אפשרי תמיד. 1.2 אוקלידיות משפט 1.2.1 ('האוקלידיות של ('Z לכל n Z ו 0 d קיימים q, r כך ש n = qd + r ו d r <.0 אוקלידיות היא שם אחר לעובדה שאפשר לחלק עם שארית. לו היינו מאמצים כאן את ההגדרה הכללית לאוקלידיות של תחום שלמות, היינו מחליפים את התנאי r 0 ב d ; r < ראו הגדרה.11.4.38 תרגיל (**) 1.2.2 נניח שהטענה של משפט 1.2.1 מתקיימת כאשר > 0 d,n. ממקרה זה את המשפט השלם. הסק 6

מבוא לתורת המספרים 1.3. המחלק המשותף המקסימלי פרק 1. 1.3 המחלק המשותף המקסימלי 1.3.1 הגדרת המחלק המשותף המקסימלי הגדרה 1.3.1 יהיו,n. m Z מספר d נקרא מחלק משותף מקסימלי של,n m אם הוא מקסימלי לגבי יחס החלוקה בין כל המחלקים המשותפים. כלומר, d מחלק את n ואת m, ומתחלק בכל מחלק משותף אחר. שימו לב שא פריורי, לא ברור שתמיד קיים מספר כזה. גם אם d הוא הגדול ביותר בין המחלקים המשותפים לגבי יחס הסדר הרגיל, מדוע בעצם הוא מוכרח להתחלק בכל מחלק משותף אחר? (התשובה לכך מופיעה בהמשך הסעיף, ונסמכת על משפט 1.3.7, שאינו טריוויאלי כלל ועיקר.) תרגיל (**) 1.3.2 אם d הוא מחלק משותף מקסימלי של,a, b ו a,d d,b b,a אז d הוא מחלק משותף מקסימלי של b a, (במלים אחרות, אפשר לומר שמחלקת החברות [d] היא מחלק משותף מקסימלי של מחלקות החברויות [b],[a].). תרגיל (**) 1.3.3 הוכח שאם קיים מחלק משותף מקסימלי של n ו m, אז הוא יחיד עד כדי חברות. תרגיל (*) 1.3.4 לכל a a, הוא מחלק משותף מקסימלי של,a. 0 Z 1.3.2 כחוג ראשי הגדרה 1.3.5 לכל,a b שלא שניהם אפס, נסמן ב ( b,a) את המספר הגדול ביותר בקבוצת המחלקים המשותפים של a ו b (גדול ביותר לגבי יחס הסדר הרגיל). תרגיל (+*) 1.3.6 (b,a) קיים לכל,a b שאינם שניהם אפס. משפט 1.3.7 לכל,n, m Z קיימים α, β Z כך ש m).αn + βm = (n, תרגיל (***) 1.3.8 הוכח את המשפט. הדרכה. נסמן ב e את המינימום של הקבוצה = 0 I βm} min {x > 0 α, β : x = αn + ו ( b d e.d = (a, כי e צירוף ליניארי של.a, b כתוב.d = e מכאן I 0.e d לכן ;e b בדומה ;e a ולכן,r והראה = 0,a = qe + r תרגיל (+**) 1.3.9 נניח ש,a b אינם שניהם אפס. הוכח ש ( b d =,a) הוא מחלק משותף מקסימלי של,a. b הדרכה. ברור שכל מחלק של d מחלק את a ואת b. נניח ש x מחלק את a ואת b, אז הוא מחלק את d לפי מפשט 1.3.7. תרגיל (**+) 1.3.10 נניח שלמספרים n 1,..., n t אין מחלק משותף גדול מ 1. הראה אינדוקציה על t בעזרת הדרכה. שקיימים α 1,..., α t כך ש = 1 t.α 1 n 1 + + α t n משפט 1.3.7. 7

1.3. המחלק המשותף המקסימלי פרק 1. מבוא לתורת המספרים 1.3.3 אלגוריתם אוקלידס האוקלידיות של חוג השלמים מאפשרת לחשב את המחלק המשותף המקסימלי. התרגיל הבא הוא נקודת המפתח לאלגוריתם: תרגיל (**) 1.3.11 אם a = qb + r אז r).(a, b) = (b, דוגמא: = 30) (36, = 36) (138, = 138) (174, = 174) (486, = 486) (1146,.(30, 6) = (6, 0) = 6 תרגיל (***) 1.3.12 תאר אלגוריתם הנעזר בחילוק עם שארית כדי לחשב את המחלק המשותף המסימלי של שני מספרים נתונים. תרגיל (***) 1.3.13 הוכח שהסיבוכיות של האלגוריתם שתארת היא לוגריתמית בגדול מבין שני מספרי הקלט. הראה שמספר פעולות החילוק הוא לוגריתם לפי הבסיס 1+ 5 =.ϕ הסבר במה מספרי פיבונאצ'י, המוגדרים לפי n 2,F n = F n 1 + F קשורים 2 לכאן. תרגיל (*) 1.3.14 מצא את 1260) (5614, ואת 6429).(7821, תרגיל (**+) 1.3.15 הראה שלכל.(4n + 3, 7n + 5) = 1,n תרגיל (**) 1.3.16 מצא את כל המספרים השלמים n כך ש 9).(n + 1) (n 2 + האפשרות להציג את המחלק המשותף המקסימלי כצירוף שלם היא כל כך שימושית, עד שכדאי להכיר אלגוריתם לחישוב מהיר של המקדמים הללו. האלגוריתם 'רוכב', למעשה, על האלגוריתם לחישוב המחלק המשותף המקסימלי עצמו, והוא נקרא אלגוריתם אוקלידס המוכלל. תרגיל (**) 1.3.17 נסמן m).d = (n, אם n = qm + r ו d αm + βr = אז (α βn +.βq)m = d דוגמא. = 1 0) (1, = 1) (10, = 10) (51, = 51) (61, = 61).(234, כעת: + (1)1 = 1 ;(0)0 לכן = 1 (1)1 + ;(0)10 לכן = 1 10 (5) ;(1)51 לכן = 1 (6)51 + 61,( 5) ובסופו של דבר = 1 61 ( 23) +.(6)234 תרגיל (***) 1.3.18 תאר אלגוריתם לחישוב המחלק המשותף המקסימלי של זוג מספרים, והצגה שלו כצירוף שלם שלהם. תרגיל (**) 1.3.19 מצא α, β Z כך ש = 1 927β.1525α + תרגיל (+**) 1.3.20 בהמשך לתרגיל 1.3.15, מצא,α β Z (התלויים ב n ) כך ש.(4n + 3)α + (7n + 5)β = 1 1.3.4 מספרים זרים הגדרה 1.3.21 המספרים n, m הם זרים אם = 1 m).(n, טענה 1.3.22 אם a, b זרים ו bc,a אז.a c תרגיל (**) 1.3.23 הוכח את הטענה. הדרכה. כתוב = 1 βb.αa + תרגיל (*) 1.3.24 הראה שהמסקנה של טענה 1.3.22 אינה נכונה אם מוותרים על הדרישה ש,a b יהיו זרים. 8

מבוא לתורת המספרים 1.4. ראשוניים ופירוק לגורמים פרק 1. 1.3.5 תרגילים נוספים תרגיל (**) 1.3.25 הראה שלכל שני מספרים n, m אפשר לכתוב dn n = ו dm m = כאשר m) d = (n, ו m n, זרים. תרגיל (**) 1.3.26 m).(kn, km) = k(n, תרגיל (**) 1.3.27 אם = 1 k),(m, אז k).(n, mk) = (n, m) (n, תרגיל (**) 1.3.28 הוכח: k).(n, mk) (n, m) (n, הדרכה. כתוב cn+ an+bm = (n, m), dk = (n, k) תרגיל (**) 1.3.29 אם = 1 m),(n, אז k).(n, mk) = (n,. d (d,m) d תרגיל (**) 1.3.30 אם d d אז לכל (d,m),m תרגיל (**) 1.3.31 הוכח ש k זר ל nm אם ורק אם k זר ל n ול m. הגדרה 1.3.32 הכפולה המשותפת המינימלית של n ו m, המסומנת ב [ m,n], היא המספר הקטן החיובי ביותר המתחלק בשניהם. תרגיל (***) 1.3.33 הוכח:.(n, m)[n, m] = nm הדרכה. העזר בתרגיל.1.3.25 תרגיל (**) 1.3.34 N עם יחס החלוקה הוא סריג, שבו m] n m = (n, m),n m = [n, (ראה תת סעיף 6.4). תרגיל (**+) 1.3.35 לכל n, m, k מתקיים k]) [n, (m, k)] = ([n, m], [n, במונחי התרגיל הקודם, k),n (m k) = (n m) (n ולכן הסריג ) (N, ''דיסטריבוטיבי''.,( n (n,m) תרגיל 1.3.36 ( ***) יהיו,n m מספרים שלמים. א. הוכח שקיימים a A ו b B כך ש m = Ab,n = ab ו 1 = B).(A, ב. הראה שאם n m אז,a,b,A B כנ"ל הם יחידים. הדרכה. חשב את (m k, כאשר k גדול מספיק. 1.4 ראשוניים ופירוק לגורמים הגדרה 1.4.1 מספר p Z הוא ראשוני אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה. הגדרה זו, שבחרנו מסיבות שתתבררנה כשנטפל בתחומי שלמות כלליים, אינה ההגדרה המקובלת למספר ראשוני; צמד התרגילים 1.4.4 ו 1.4.6 מראה שההגדרה המקובלת שקולה לזו שנתנו כאן. הגדרה 1.4.2 מספר p Z הוא אי פריק, אם בכל פירוק,p = ab בהכרח 1 a או 1.b כל מספר מתחלק בהפיכים ובחברים שלו, ולכן אלו נקראים 'מחלקים טריוויאליים'. 9 תרגיל (*) 1.4.3 התכונות הבאות שקולות:

פרק 1. מבוא לתורת המספרים 1.5. שקילות מודולו n.1 p אי פריק..2 אם p = ab אז a p או.b p.3 אם a p אז 1 a או.a p תרגיל 1.4.4 ( **) כל ראשוני הוא אי פריק. תרגיל (*) 1.4.5 אם p אי פריק, אז לכל p n,n או = 1 n).(p, תרגיל (+**) 1.4.6 כל אי פריק הוא ראשוני. הדרכה. יהי p אי פריק, ונניח p. ab אם p a אז = 1 a) (p, לפי תרגיל,1.4.5 ולפי,1.3.22 b.p תרגיל (+*) 1.4.7 הראה ש p Z ראשוני אם ורק אם אין לו אף מחלק לא טריוויאלי. תרגיל (**) 1.4.8 כל מספר טבעי אפשר להציג כמכפלה של גורמים ראשוניים. הדרכה. אינדוקציה שלמה. משפט 1.4.9 הפירוק של מספר טבעי לגורמים ראשוניים הוא יחיד עד כדי סדר. תרגיל 1.4.10 ( ***) הוכח את המשפט. n = p a 1 1 pa t t יחלק את n = p a 1 1 pa t תרגיל (+**) 1.4.11 תן קריטריון לכך ש t (כאשר 0 i,(a i, a ונוסחה למחלק המשותף המקסימלי. תרגיל (*) 1.4.12 מצא את הפירוק לראשוניים של המספרים 8888 12960, 5720, ו.4096 משפט 1.4.13 (אוקלידס) יש אינסוף מספרים ראשוניים. תרגיל (**+) 1.4.14 הוכח את המשפט. הדרכה. נניח שהראשוניים היחידים הם.p 1,..., p n התבונן ב + 1 n.n = p 1 p תרגיל (**) 1.4.15 הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה + 1 4n. תרגיל (***) 1.4.16 הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה 1 4n. תרגיל (**) 1.4.17 הוכח שיש אינסוף ראשוניים מהצורה 1 6n. תרגיל (***) 1.4.18 מצאו את כל הזוגות של ראשוניים p, q כך ש + p + q 6pq.2 1.5 שקילות מודולו n יהי n Z 0 קבוע. נגדיר יחס על המספרים השלמים: הגדרה a' 1.5.1 שקול ל b מודולו 'n (כותבים: n) ( a b (mod אם b).n (a תרגיל (*) 1.5.2 הוכח ששקילות מודולו n היא יחס שקילות (כלומר, טרנזיטיבית, סימטרית ורפלקסיבית). 10

1.5. שקילות מודולו n פרק 1. מבוא לתורת המספרים שקילות מודולו n היא יחס. בשפות מחשב שונות מגדירים פעולה של חילוק עם שארית, שאותה מסמנים ב mod ; כפי שנראה, הטיפול במחלקות שקילות גמיש ונוח יותר מאשר בשאריות. טענה 1.5.3 אם n) a a (mod ו ( n,b b (mod אז n) a + b a + b (mod ו ( n.ab a b (mod תרגיל (+**) 1.5.4 הוכח את הטענה. פירושו של דבר הוא שפעולות החיבור והכפל של מחלקות שקילות מודולו n, המבוצעות על נציגים, מוגדרות היטב. עובדה זו תהיה לנו לעזר רב בהמשך..m מחלק את (a n 1, anm 1 a n 1 תרגיל 1.5.5 ( ***) הוכח שלכל > 1 a ולכל,n, m ).a n 1 (mod a n 1) זרים. הדרכה. a n 1, an a 1 a n 1 הסק ש 1.5.1 משפט השאריות הסיני משפט 1.5.6 (משפט השאריות הסיני) יהיו,n m זרים. לכל,a, b קיים x יחיד מודולו nm כך ש.x b (mod ו ( m x a (mod n) תרגיל (+**) 1.5.7 הוכח את המשפט. הדרכה. נניח ש = 1 βm.αn + הראה ש x = αnb + βma פתרון. את היחידות הוכח לפי ספירה. תרגיל (**+) 1.5.8 הוכח את הגרסה הבאה של המשפט: אם n 1,..., n t זרים בזוגות, אז לכל a 1,..., a t קיים x יחיד מודולו n = n 1 n t המקיים ) i.x a i (mod n. { x 4 (mod 8). x 5 (mod 15) x 1 (mod 5) x 1 (mod 6) x 2 (mod 7) } תרגיל (**) 1.5.9 פתור את מערכות המשוואות תרגיל (**) 1.5.10 פתור את מערכות המשוואות { } x 5 (mod 12) אין פתרונות. הראה תרגיל (**) 1.5.11 הראה שלמערכת x 6 (mod 8) { } x 4 (mod 12) יש יותר מאחד (מודולו 12 8). מדוע אין זו סתירה שלמערכת x 6 (mod 8) למשפט?,n m שלמים. מצא תנאי הכרחי ומספיק על,a b לכך שלמערכת { תרגיל 1.5.12 ( ***) } x a (mod n) יהיה פתרון יחיד מודולו [m,n]. x b (mod m) 11

פרק 1. מבוא לתורת המספרים 1.5. שקילות מודולו n 12

פרק 2 חבורות למחצה ומונוידים בפרק הקצר הזה נכיר את המערכות האלגבריות הפרימיטיביות ביותר - אלו שיש להן רק פעולה אחת עם מספר אקסיומות מינימלי. המטרה העיקרית היא להתרגל לרעיון של פעולה אבסטרקטית, שרק בגללו יש צורך לפתח מבנים אלגבריים כלליים. מושגים: פעולה אסוציאטיבית, חבורה למחצה, איבר יחידה, איבר אפס; מונויד, איבר הפיך. 2.1 חבורות למחצה פעולה בינרית על קבוצה A היא פונקציה : A A A. שימו לב שלפי ההגדרה, הפעולה ''מוגדרת היטב'', כלומר, לכל שני איברים,x y A יש ערך יחיד ו''סגורה'' הערך הזה שייך ל A. x; y פעולה היא אסוציאטיבית אם.a (b c) = (a b) c הגדרה 2.1.1 חבורה למחצה היא מערכת מתמטית הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית עליה. תרגיל 2.1.2 ( ***) הראה שאם הפעולה אסוציאטיבית, אז החזקה מוגדרת היטב (כלומר, כל הדרכים להכפיל איבר x בעצמו n פעמים מביאות לאותה תוצאה). תרגיל (*) 2.1.3 קבוצת המספרים הזוגיים עם פעולת הכפל, היא חבורה למחצה. תרגיל (*) 2.1.4 תהי S קבוצה. נגדיר.a b = b הוכח ש ) (S, חבורה למחצה. הסיבה לכך שאסוציאטיביות היא תכונה חשובה ונפוצה כל כך, היא שהרכבת פונקציות היא אסוציאטיבית. תרגיל (*) 2.1.5 תהי X קבוצה. האוסף X X של פונקציות X, X עם פעולת ההרכבה של פונקציות, הוא חבורה למחצה. תרגיל (**) 2.1.6 קבע האם קבוצת המספרים הממשיים R, עם הפעולה = b a ) 2 (a2 + b 2, 1 היא חבורה למחצה. 13

פרק 2. חבורות למחצה ומונוידים 2.2. מונוידים תרגיל (**) 2.1.7 נניח שבחבורה למחצה A אפשר לקרוא את הגורמים מתוך המכפלה, כלומר, אם ab = cd אז a = c ו d.b = הוכח ש = 1. A הגדרה 2.1.8 איזומורפיזם של חבורות למחצה (,Y),X),( הוא פונקציה חד חד ערכית ועל f, : X Y כך ש ) f(x) f(x.f(x x ) = אם קיים איזומורפיזם בין החבורות למחצה, אומרים שהן איזומורפיות, ומסמנים.X = Y תרגיל (**) 2.1.9 איזומורפיות היא תכונה טרנזיטיבית, סימטרית ורפלקסיבית. מנקודת המבט של תורת הקבוצות האקסיומטית יש כאן אי דיוק מסויים, אבל אפשר לומר שאיזומורפיות היא יחס שקילות. תרגיל (**) 2.1.10 יש בדיוק חמש חבורות למחצה בנות 2 אברים עד כדי איזומורפיזם. כלומר, יש חמש חבורות למחצה בנות 2 אברים, שאינן איזומורפיות זו לזו, וכל חבורה למחצה בת שני אברים איזומורפית לאחת מהן. הגדרה 2.1.11 איבר e בחבורה למחצה S הוא איבר יחידה אם לכל.xe = xe = x,x S תרגיל (*) 2.1.12 אם יש בחבורה למחצה איבר יחידה, אז הוא יחיד. {( ) } M = a b היא חבורה למחצה. האם 0 0 תרגיל (**) 2.1.13 הראה ש : a, b R יש לה איבר יחידה? הגדרה 2.1.14 אם איבר z בחבורה למחצה מקיים za = az = z לכל a, הוא נקרא איבר אפס. תרגיל (*) 2.1.15 הראה שאם קיים בחבורה למחצה איבר אפס, אז הוא יחיד. תרגיל (**) 2.1.16 תן דוגמא לחבורה למחצה עם איבר אפס, ולחבורה למחצה ללא איבר אפס. 2.2 מונוידים הגדרה 2.2.1 חבורה למחצה עם איבר יחידה נקראת מונויד. תרגיל (**) 2.2.2 תהי A קבוצה. הוכח ש A} M = A A = {f : A עם פעולת ההרכבה הוא מונויד. תרגיל (*) 2.2.3 מצא אלו מן המערכות הבאות הן מונוידים: Z עם פעולת החיסור. 0} > x R + = {x : עם פעולת הכפל. (R) M 2 עם פעולת הכפל של מטריצות. תרגיל (*) 2.2.4 קבע לגבי כל אחת מהמערכות הבאות האם היא חבורה למחצה והאם היא מונויד. אוסף המטריצות ) F) M n עם פעולת הכפל. אוסף הפונקציות הרציפות R 1],[0, עם כפל g(t).(f g)(t) = f(t) אוסף המספרים הרציונליים עם הכפל הרגיל. 14

2.2. מונוידים פרק 2. חבורות למחצה ומונוידים תרגיל (**) 2.2.5 אם אחת מבין שתי חבורות למחצה איזומורפיות היא מונויד, אז גם השניה כך. תרגיל (**) 2.2.6 כתוב את לוחות הכפל של כל המונוידים בעלי 2 אברים. תרגיל (***) 2.2.7 כתוב את לוחות הכפל של שבעה המונוידים בעלי 3 אברים. תרגיל (**) 2.2.8 השלם את לוח הכפל של מונויד {c M =,e},a,b שבו e איבר יחידה, bc = a,ab = c ו b.ca = תרגיל (**) 2.2.9 הראה שכל חבורה למחצה S אפשר להרחיב למונויד {e} S, = S אם נגדיר את e להיות איבר היחידה במבנה החדש. תרגיל (**) 2.2.10 תאר את המונויד המתקבל לאחר חזרה n פעמים על הבניה של תרגיל 2.2.9, כשמתחילים ממונויד האפס {0} = M. תרגיל (**) 2.2.11 א. M מונויד. נקבע,z M ונרחיב את הפעולה לפי = mz zm = z. הוכח ש {z} M מונויד, שבו z הוא איבר האפס. ב. נניח ש {0} = M. תאר את המונויד המתקבל אחרי n הפעלות של התהליך הזה. הגדרה 2.2.12 יהי M מונויד עם איבר היחידה 1. איבר a M הוא הפיך אם קיים b M כך ש.ab = ba = 1 תרגיל (**) 2.2.13 אם a הפיך, אז האיבר b שמספקת ההגדרה הוא יחיד. לכן, אם a הפיך, מוצדק לקרוא לאיבר b המקיים = 1 ba ab = ההפכי של a, בהא הידיעה, ולסמן אותו בסימון 1 a. תרגיל (*) 2.2.14 אם a הפיך, אז גם 1 a הפיך, ו a.(a 1 ) 1 = תרגיל (**) 2.2.15 אם a, b הפיכים, אז גם ab הפיך, ו 1 a.(ab) 1 = b 1 הגדרה 2.2.16 את אוסף האיברים ההפיכים במונויד M מסמנים ב ( U(M. טענה 2.2.17 לכל מונויד U(M) M, הוא חבורה. תרגיל (**) 2.2.18 הוכח את הטענה. כתוב בזהירות מה בדיוק צריך להוכיח; למשל, מדוע פעולת הכפל ב ( U(M מוגדרת היטב? תרגיל (***) 2.2.19 תן דוגמא למונויד עם איברים,a b כך ש = 1 ab אבל a ו b אינם הפיכים. הדרכה. חשוב על X. = N N תרגיל (**) 2.2.20 אם במונויד מתקיים aba = a ו 1 = a,ab 2 אז 1 b.a = תרגיל (**) 2.2.21 יהי ) (M, מונויד, ויהי.a M נגדיר.x y = x a y הוכח ש (,M) חבורה למחצה. מצא תנאי הכרחי ומספיק לכך ש (,M) מונויד..x y = xy+λ x+y 1 תרגיל (***) 2.2.22 יהי < λ 1/4 מספר ממשי. נגדיר 15

פרק 2. חבורות למחצה ומונוידים 2.2. מונוידים ( 1 2 = I הוא חבורה למחצה ביחס לפעולה..1 הוכח שהקטע ),.2 נניח ש e 2 + e = λ עבור e I (בדוק ש e יחיד). הוכח ש e איבר אפס של הפעולה. [ 1 2 על ידי מעבר לגבול: = a ) 2 ( 1 3. נרחיב את הפעולה לקטע [, lim x ( 1 x a וכן a = lim x x a. בדוק ש = ) 2 ( 1 ) 2,( 1 וש 2 הוא +( איבר יחידה בקטע החדש..a b = a b וש a = a בדוק ש.a = ( 1 2.4 נסמן a ) 5. הראה ש e תמיד בין a ל a..6 הוכח שלמשוואה a x = b קיים פתרון אם ורק אם b בין a ל.a ], 1 2 הסגורות ביחס לפעולה. 7. מצא את כל תת הקבוצות הקשירות של [,.8 הוכח שלכל.lim n a n = e,a I [רמז. פרק לגורמים את [.a b e תרגיל 2.2.23 ( ***) 1. פעולת האקספוננט x e x היא איזומורפיזם של המונויד.(R +,, 1) אל המונויד (R, +, 0).2 נגדיר פעולות n (עבור (n Z הקשורות ביניהן באמצעות היחס = nb e a e. a 1+n e b נניח שהפעולה הראשונה בסדרה,, 1 היא פעולת החיבור. הראה שהפעולה השניה היא הכפל.x 2 y = xy.3 הראה ש log(x),x 3 y = x log(y) = y ו log(y).x 4 y = e elog log(x) log.4 הראה ש ( a 0 b = log(e a + e b ו ((.a 1 b = log(log(e ea + e eb 5. מהי הקרן הגדולה ביותר (,c] שבה מוגדרת הפעולה? n.6 חשב את הגבול b).lim n (a n 7. מצא מה צריך להיות הערך של e (עד כאן הנחנו רק ש 1 > e), כך ש 4 = 2 2. 2 חשב עבור בחירה זו את n 2 2 לכל n. 16

פרק 3 חבורות ותת חבורות כאן נפגוש את גיבורת החלק הראשון של הקורס, החבורה, ונכיר כמה דוגמאות חשובות. מושגים: מונויד עם צמצום, חבורה. איזומורפיזם. סדר של חבורה. Z. n חבורות אוילר. החבורות הסימטריות. החבורות הדיהדרליות. החבורה הליניארית הכללית. חבורה אבלית. מכפלה ישרה חיצונית. תת חבורה. 3.1 חבורות הגדרה 3.1.1 חבורה היא מונויד שבו כל האיברים הפיכים. במלים אחרות, חבורה היא מערכת מתמטית הכוללת קבוצה G, פעולה אסוציאטיבית : G G G ואיבר יחידה G 1, כך שכל האיברים של G הפיכים. הסימן 1 עשוי להטעות, משום שבמקרים רבים אברי החבורה כלל אינם מספרים, או שדווקא המספר 0 הוא איבר היחידה (אכן, יש ספרים המעדיפים לסמן את איבר היחידה באות e). כדי למנוע בלבול, אם של היחידה איבר את לסמן עשויים אנו חבורות, כמה בבעיה מעורבות.1 G בסימון G כל קבוצה עם איבר אחד (ופעולת הכפל ההכרחית) היא חבורה. כל החבורות האלה איזומורפיות, ונקראות החבורה הטריוויאלית. לפעמים, במקום לסמן חבורה זו ב { 1 } = G, נכתוב פשוט = 1.G תרגיל (*) 3.1.2 אם G חבורה אז.U(G) = G הגדרה 3.1.3 למונויד יש תכונת הצמצום משמאל אם ab = ac גורר b. = c באופן דומה מוגדר גם צמצום מימין. תרגיל (*) 3.1.4 בדוק שבמונויד יש צמצום מימין ומשמאל אם ורק אם לוח הכפל שלו הוא ריבוע לטיני. משפט 3.1.5 מונויד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה. 17

פרק 3. חבורות ותת חבורות 3.1. חבורות תרגיל (***) 3.1.6 הוכח את המשפט. תרגיל 3.1.7 ( ***) תן דוגמא למונויד (אינסופי) עם צמצום משמאל שאינו חבורה. תרגיל (**) 3.1.8 S חבורה למחצה סופית, ו S Sa = as = לכל.a S הוכח ש S מונויד. תרגיל (***) 3.1.9 אם בחבורה למחצה יש פתרון לכל משוואה מן הצורה ax = b או,xa = b אז זו חבורה. תרגיל (**) 3.1.10 תן דוגמא למונויד ציקלי סופי (כלומר, מונויד שיש לו איבר a M כך ש { N,(M = {a n : n שאינו חבורה. תרגיל (**) 3.1.11 אם,X Y חבורות ו f : X Y איזומורפיזם של חבורות למחצה, אז הוא מעביר את איבר היחידה של X לאיבר היחידה של Y, ואת ההפכי של איבר להפכי של התמונה שלו. הגדרה 3.1.12 אם יש איזומורפיזם בין חבורות, אומרים שהן איזומורפיות ) בדיוק כמו במקרה של חבורות למחצה או מונוידים). תרגיל (+*) 3.1.13 הראה שבחבורה בת יותר מאיבר אחד, ) יש איבר יחידה אבל) אין איבר אפס (ראה הגדרה 2.1.14). תרגיל (**) 3.1.14 תהי G חבורה עם.a, b G הוכח: למשוואה xax = b יש פתרון אם ורק אם ab הוא ריבוע (כלומר, מהצורה y) 2 ב G. 1 a x 2 ax = יש הוכח: למשוואה 1 תרגיל 3.1.15 ( ***) תהי G חבורה עם.a G פתרון אם ורק אם a הוא חזקה שלישית ב G. הוכח ש.a 2 = 1, ab 2 a 1 = b 3 תרגיל (**+) 3.1.16 אברים a, b בחבורה מקיימים.b 5 = 1 תרגיל (**) 3.1.17 קבע האם הקבוצה Q} {x R : tan(x) היא חבורה ביחס לפעולת החיבור. הן חבורות: {( שהמערכות הבאות ) (**) 3.1.18 הוכח } תרגיל, x y עם כפל המטריצות הרגיל. y x א. > 0 2 : x, y R, x 2 + y ;a 1 a+b a = ;ab ו 1 a, b אם a b = ב. { } R R = עם הפעולה 1 ab. = 0 ;a = 1 a {f a : a R} הוכח ש.f a : x x 1+ax 2 תרגיל (**) 3.1.19 נתבונן בפונקציות הממשיות היא חבורה ביחס להרכבת פונקציות. תרגיל 3.1.20 ( ***) תן דוגמא לקבוצה סופית עם פעולה בינארית לא אסוציאטיבית, קח הצעה. עם איבר יחידה וצמצום מימין ומשמאל, שיש בה איברים לא הפיכים.,a i a i = ϵ,a i ϵ = a i 1,ϵ a i = a i+1 עם פעולת הכפל M = {1, ϵ, a 0, a 1, a 2}.a i a i 1 = a i+1,a i a i+1 = 1 18

חבורות ותת חבורות 3.2. סדר של חבורה פרק 3. 3.2 סדר של חבורה הגדרה 3.2.1 הסדר של חבורה הוא מספר האיברים בחבורה. פריט המידע החשוב ביותר על חבורה סופית הוא הסדר שלה. בהמשך נראה שאפשר ללמוד הרבה על חבורה מידיעת הסדר שלה לבדו, אם כי בדרך כלל יש כמה חבורות לא איזומורפיות מאותו סדר. תרגיל (**) 3.2.2 כתוב את לוחות הכפל של כל החבורות מסדר,2.,3 4 תרגיל (**) 3.2.3 העזר בכלל הצמצום כדי להראות שיש חבורה אחת מסדר 5, עד כדי איזומורפיזם. אומרים שאיברים a, b G בחבורה הם מתחלפים אם.ab = ba תרגיל (**) 3.2.4 כתוב את לוח הכפל של חבורה מסדר 6, עם איברים,τ σ שאינם מתחלפים, המקיימים = 1 3.τ 2 = σ הדרכה. אברי החבורה הם :τ, στ, σ 2 τ,1, σ, σ 2 הוכח שכל אלה שונים זה מזה, ומצא את τσ בהנחה שהוא איבר באותה רשימה. תרגיל (*) 3.2.5 לחבורות איזומורפיות יש אותו סדר (וראה תרגיל 3.3.18). 3.3 דוגמאות לחבורות איך מתארים חבורה? בשלב זה, הדרך היחידה שאנו מכירים לתאר חבורה היא באמצעות לוח הכפל שלה. כמובן שזו דרך לא יעילה. כתחליף, נוכל להסתפק בתאור נוסחאתי (כלומר, נוסחת כפל במקום לוח כפל), אלא שגם מהצגה זו קשה ללמוד באיזו חבורה מדובר. בסעיף הזה נכיר כמה דוגמאות, כדי שנוכל לקרוא לחבורות הנפוצות ביותר בשמן, ואחר כך נלמד להרכיב חבורות חדשות מאלו שאנו מכירים. 3.3.1 החבורות הציקליות Z ו :Z n החבורה האינסופית הפשוטה ביותר היא (0,+,Z). אם 'מקפלים' את החבורה הזו למחלקות שקילות, מקבלים חבורה אחת מכל סדר. נקבע 1 n. תרגיל (*) 3.3.1 הראה שיש בדיוק n מחלקות שקילות מודולו n. מספר שקול לאחד מבין 1 n,...,1,0, ושאלה אינם שקולים זה לזה. הדרכה. הראה שכל תרגיל (**) 3.3.2 הזכר בטענה,1.5.3 והראה שפעולת החיבור b] [a] + [b] = [a + מוגדרת היטב. כשמגדירים העתקה מקבוצה לקבוצה (ופעולה בינרית בכלל זה), עולה לפעמים צורך להוכיח שהפעולה מוגדרת היטב. ישנם שני מצבים שכיחים. בראשון, אם f, : A B מגדירים את f(α) באופן מסויים, וצריך לוודא 19

3.3. דוגמאות לחבורות פרק 3. חבורות ותת חבורות שאכן.f(α) B המקרה השני הוא כאשר A אוסף של מחלקות שקילות, ובהגדרת f(α) מבצעים בחירה (בדרך כלל של נציג מהמחלקה α). לדוגמא, בפעולת החיבור כתבנו y]","[x] + [y] = [x + במקום "יהיו α, β מחלקות; נבחר נציגים x, y כך ש ;[y] = β,[x] = α נגדיר y]."α + β = [x + צריך לוודא שבחירת נציגים y x, עם אותן תכונות תביא לאותה תוצאה. תרגיל (**) 3.3.3 הראה שאוסף המחלקות 1] [n,... [0], הוא חבורה ביחס לחיבור: 1. הראה שהפעולה אסוציאטיבית. 2. הראה שיש איבר יחידה (מהו?). 3. הראה שלכל איבר קיים הפכי. מהו איבר היחידה? מהו ההפכי של [a]? הגדרה 3.3.4 החבורה של מחלקות השקילות מודולו n, ביחס לפעולת החיבור, נקראת Z n (וגם,Z/nZ מסיבות שיובררו בסעיף 5.4). שני הסימונים, Z n וגם,Z/nZ עשויים להתייחס לשלושה עצמים שונים: קבוצת מחלקות השקילות מודולו n; המערכת המתמטית הכוללת את הקבוצה הזו עם פעולת החיבור (זו חבורה); והמערכת המתמטית הכוללת את הקבוצה עם פעולות החיבור והכפל ) ''חוג''). תרגיל (*) 3.3.5 אם n m אז החבורות Z n, Z m אינן איזומורפיות. 3.3.2 חבורות אוילר :U n כמקודם, נקבע 1.n תרגיל (**) 3.3.6 הזכר בטענה,1.5.3 והראה שפעולת הכפל b] [a] [b] = [a מוגדרת היטב. תרגיל (**) 3.3.7 הראה שאוסף מחלקות השקילות Z, n עם פעולת הכפל, הוא מונויד, אבל אינו חבורה אלא במקרה הטריוויאלי = 1 n. תרגיל (*) 3.3.8 המחלק המשותף המקסימלי תלוי רק במחלקת השקילות מודולו n. במלים אחרות, אם n) a a (mod אז n).(a, n) = (a, תרגיל 3.3.9 ( ***) איבר [a] Z n הוא הפיך ביחס לכפל אם ורק אם = 1 (n,a). תרגיל (***) 3.3.10 אם = 1 n),(a, n) = (b, אז = 1 n).(ab, הגדרה 3.3.11 חבורת אוילר מסדר U, n n, היא אוסף מחלקות השקילות מודולו n, של מספרים הזרים ל n, עם פעולת הכפל. החבורות נקראות על שם לאונרד אוילר, 1783 1707. 20

חבורות ותת חבורות 3.3. דוגמאות לחבורות פרק 3. תרגיל (***) 3.3.12 הראה שההפכי של a U n הוא מספר α המקיים = 1 βn αa + לאיזשהו β. תרגיל (**) 3.3.13 הראה ש U n היא חבורה: 1. הראה שהפעולה אסוציאטיבית. 2. הראה שיש איבר יחידה (מהו?). 3. הראה שלכל איבר קיים הפכי. מהו ההפכי של [a]? הדרכה. ראה תרגיל 3.3.12. תרגיל (**) 3.3.14 הראה ש ), n U n = U(Z (ראה הגדרה.(2.2.16 למרות ש U n נקראת 'חבורת אוילר מסדר n', מספר האיברים בחבורה הזו אינו n אלא φ(n) = {1 a n : (a, n) = 1} ; הפונקציה φ נקראת פונקציית אוילר. תרגיל (*) 3.3.15 חשב את φ(n) עבור, 12... 2, = 1,.n תרגיל (*) 3.3.16 כתוב את לוח הכפל של החבורות,U n עבור = 2, 3, 4, 5, 6,n.7, 8, 9, 10, 12 תרגיל (**) 3.3.17 הוכח:,U 6 = U4 = U3 = Z2.1,U 10 = U5 = Z4.2.U 9 = U7 = Z6.3 U 5 ו U 8 מאותו סדר אבל אינן איזומורפיות. תרגיל (**) 3.3.18 3.3.3 החבורות הסימטריות S n הגדרה 3.3.19 פונקציה חד חד ערכית ועל מקבוצה לעצמה, σ, : X X נקראת תמורה. הגדרה 3.3.20 את אוסף כל התמורות σ : X X נסמן S. X לשם הקיצור, עבור הקבוצה = X (στ)(a) = אנו מכפילים תמורות מימין לשמאל, כמו הרכבת פונקציות:.S X = S n מסמנים {1,..., n}.σ(τ(a)) תמורה ב S n היא פונקציה מהקבוצה {n,(...,1} אל עצמה. צורת רישום )אפשרית אחת 1 2 n.σ = היא לתאר את σ במטריצה של שתי שורות, σ(1) σ(2) σ(n) ) תרגיל (*) 3.3.21 חשב ( את (המכפלות הבאות: ( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, 4 2 5 3 1 3 1 4 5 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 n 1 2 m m + 1 n 1 2 n 1 n. 2 3 n 1 2 3 1 m + 1 n 2 3 n 1 21

3.3. דוגמאות לחבורות פרק 3. חבורות ותת חבורות.S X תרגיל (**+) 3.3.22 הוכח שאם Y X = אז = SY S, X עם פעולת הרכבת הפונקציות, היא חבורה. תרגיל (*) 3.3.23 תרגיל (*) 3.3.24 הוכח ש n!. S n = תרגיל (**) 3.3.25 כתוב את לוח הכפל של S 2 S, 1 ו S 3 (השווה את לוח הכפל.S 2 האחרון לזה של תרגיל 3.2.4). בדוק ש = Z2 הגדרה 3.3.26 אם r 1,..., r t n 1 שונים זה מזה, תמורה σ המעבירה 2 r 1 r r t r 1 (וקובעת את שאר האברים) נקראת מחזור. ומסמנים ) t.σ = (r 1 r 2 r הסדר של המחזור הוא האורך שלו,.o(σ) = t הקבוצה } t r} 1,..., r נקראת התומך של המחזור; מחזוורים זרים הם מחזורים שהתומכים שלהם זרים. תרגיל (**) 3.3.27 מחזורים זרים - מתחלפים. משפט 3.3.28 כל תמורה ב S n אפשר לכתוב כמכפלה של מחזורים זרים. תרגיל (*) 3.3.29 הצג את כל האברים ב S 3 במכפלות של מחזורים. ) תרגיל (*) 3.3.30 כתוב ( כמכפלת (מחזורים את התמורות הבאות: ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7., 5 3 9 10 1 6 8 7 2 4 4 7 1 3 2 5 6 תרגיל (*) 3.3.31 חשב את המכפלות 4) 4)(6 1 3 7)(3 2,(1 2 4 n) (1 3) 2)(1.(1 תרגיל ) 3.3.32 (*) כתוב בצורה )המלאה וכמכפלה של מחזורים זרים, את התמורות 1 2 3 4 5 6,γ = (12)(14)(23)(42)(14),β = (143)(25)(6),α = הבאות: 2 6 4 3 1 5.δ = αβγ תרגיל (**) 3.3.33 הראה שאם τ 1, τ 2 מחזורים זרים, τ 1 (α) α ו β,τ 2 (β) אז.o(τ 1 ) + o(τ 2 ) מחזור באורך τ 2 τ 1 (αβ) 3.3.4 החבורות הדיהדרליות D n יהי 2.n החבורה הסימטרית S n היא אוסף כל הדרכים לערבב את העצמים, n....1, אם נטיל מגבלות על סוגי הערבוב המותרים, נקבל חבורות קטנות יותר. למשל, החבורה D n מוגדרת כאוסף הדרכים לפעול על מצולע בן n צלעות, כך שיתפוס בסוף הפעולה את אותו המקום במרחב. יש שתי פעולות יסודיות: סיבוב ימינה ב n 1 המעגל (שנסמן באות σ), ושיקוף בציר קבוע כלשהו העובר דרך מרכז המצולע ואחד הקודקודים (שנסמן באות τ). תרגיל (**) 3.3.34 בדוק שהפעולות מקיימות את היחסים = 1 n,τ 2 = 1,σ ו = 1 τστ.σ 1 תרגיל (**) 3.3.35 הראה שיש בדיוק 2n דרכים למקם מצולע משוכלל בן n צלעות, כך שיתפוס מקום מוגדר מראש. 22

3.4. אבליות פרק 3. חבורות ותת חבורות תרגיל (**) 3.3.36 הראה שהפעולות,j = 0, 1,i = 0,..., n 1,σ i τ j שונות זו מזו. הגדרה 3.3.37 החבורה הדיהדרלית מסדר D, n n, היא הקבוצה { σ i τ j : i = 0,..., n 1, j = 0, 1 }, עם הפעולה 2).σ i τ j σ i τ j = σ i+( 1)j i (mod n) τ j+j (mod תרגיל (**) 3.3.38 בדוק שהפעולה אסוציאטיבית. הראה ש σ 0 τ 0 הוא איבר היחידה, וש.(σ i τ j ) 1 = σ ( 1)ji τ j הסק ש D n היא חבורה מסדר.2n.D 3 תרגיל (**) 3.3.39 הוכח ש = S3 תרגיל (**) 3.3.40 הוכח: n/2 Z(D n ) = σ אם n זוגי, ו = 1 ) n Z(D אחרת. תרגיל (***) 3.3.41 כל תת החבורות של החבורה הדיהדרלית D n הן מן הטיפוסים הבאים:,Z 2 Z 2 ציקליות מסדר m או דיהדרליות מסדר,m כאשר.m n 3.3.5 חבורות המטריצות הקלאסיות יהי F שדה (למשל,,F = Q, R, C אבל גם Z p כאשר p ראשוני (ראה תרגיל.((4.4.2 תרגיל (+*) 3.3.42 הראה שאוסף המטריצות ) F) M, n ביחס לפעולת הכפל, הוא מונויד שיש לו איבר אפס. הגדרה 0} 3.3.43 det(a).gl n (F ) = {A M n (F ) : תרגיל (*+) 3.3.44 )) (F.GL n (F ) = U(M n תרגיל (**+) 3.3.45 רשום את אברי החבורה ) 2.GL 2 (Z הוכח ש.GL 2 (Z 2 ) = S 3 3.4 אבליות הגדרה 3.4.1 אברים,x y בחבורה מתחלפים אם.xy = yx אם כל שני אברים בחבורה מתחלפים, אומרים שהיא אבלית. בחבורה אבלית פעולת הכפל היא קומוטטיבית, ולפעמים קוראים לחבורה כזו גם 'חבורה קומוטטיבית'. הנריק אבל, 1829 1802, ממייסדי תורת החבורות. קוראים להן חבורות אבליות על שמו של נילס פעולת החבורה נקראת בדרך כלל 'כפל', ומסומנת בהתאם. אבליות לפעמים מעיפים להשתמש בסימון חיבורי. בחבורות אם מדובר בקבוצה של מספרים, למשל, (שמוגדרות עליה מראש פעולות חיבור וכפל), יתכן שיהיה עלינו להבהיר האם מדובר בחבורה ביחס לחיבור או לכפל. תרגיל (*) 3.4.2 הראה שהחבורות Z n כולן אבליות. 23

3.5. מכפלה ישרה חיצונית פרק 3. חבורות ותת חבורות תרגיל (*) 3.4.3 הראה שהחבורות U n כולן אבליות. תרגיל (**) 3.4.4 הראה שהחבורה הסימטרית S n אינה אבלית, אלא במקרים = n.1, 2 תרגיל (**) 3.4.5 הראה שהחבורה הדיהדרלית D n אינה אבלית, אלא במקרים = n.1, 2 תרגיל (**) 3.4.6 בחבורה מתקיים = 1 2 x לכל איבר. הוכח שהחבורה אבלית. תרגיל (*) 3.4.7 הוכח: (xy) 2 = x 2 y 2 לכל x, y אם ורק אם החבורה אבלית. תרגיל (***) 3.4.8 נסמן ב Φ n את התכונה x y : (xy) n = x n y n (שיכולה להתקיים או לא להתקיים בחבורה נתונה). התכונה Φ 1 מתקיימת תמיד, והתכונה Φ 2 שקולה לאבליות לפי תרגיל 3.4.7. הוכח:.1 אם Φ n אז לכל x, y מתקיים.x n y n 1 = y n 1 x n 2. אם Φ n אז לכל x n(n 1) x, מתחלף עם כל אברי החבורה..3 אם n+2 Φ n Φ n+1 Φ אז החבורה אבלית. 3.5 מכפלה ישרה חיצונית הגדרה. אם G 1, G 2 חבורות, מגדירים על הקבוצה G 1 G 2 של כל הזוגות הסדורים פעולה לפי רכיבים, 2).(g 1, g 2 )(g 1, g 2) = (g 1 g 1, g 2 g החבורה המתקבלת היא המכפלה הישרה החיצונית של G. 1, G 2 בסעיף 6.2 נלמד גם מהי מכפלה ישרה פנימית (ונראה שלמעשה אין הבדל בין השתיים). 2 G 1 G היא חבורה. איבר היחידה הוא ) G2,(1 G1, 1 וההפכי של איבר תרגיל (*) 3.5.1 1 (g.(g 1, g 2 ) 1 = נתון על ידי ) 1 1, g 1 2 תרגיל (*) 3.5.2 ה"קומוטטיביות" וה"אסוציאטיביות" של מכפלה ישרה חיצונית: א..G H = H G ב. K).(G H) K = G (H תרגיל (**) 3.5.3 מצא את כל לוחות הכפל האפשריים של חבורה מסדר 4. הראה שאלו בדיוק לוחות הכפל של Z 4 ושל.Z 2 Z 2.U 8 תרגיל (**) 3.5.4 הראה ש = Z2 Z 2 24.D 2 תרגיל (**) 3.5.5 2 = Z2 Z

3.6. תת חבורות פרק 3. חבורות ותת חבורות 3.6 תת חבורות תהי G חבורה. הגדרה 3.6.1 תת קבוצה לא ריקה H G היא תת חבורה של G אם היא סגורה לכפל ולהיפוך, כלומר, לכל,x y H מתקיים xy H ו H x. 1 במקרה זה H עצמה היא חבורה (עם הכפל המצומצם מ G, ואותו איבר יחידה), מסמנים H. G תרגיל (*) 3.6.2 תהח : G G G פעולה בינארית על חבורה למחצה G; פורמלית, זוהי קבוצה של שלשות סדורות.(x, y, x y) G G G הראה ש H) (H H היא פעולה בינארית מוגדרת היטב על תת הקבוצה H G אם ורק אם H סגורה לכפל. תרגיל (*) 3.6.3 בכל חבורה G יש שתי תת חבורות,1. G תרגיל (*) 3.6.4 אם,N H, H G אז.N G תרגיל (**) 3.6.5 אם M G סגור לכפל (אבל לא בהכרח ביחס לפעולת ההיפוך), אז M נקרא תת מונויד של G. הוכח שכל תת מונויד של חבורה הוא בעל תכונת הצמצום משמאל. תרגיל (**) 3.6.6 אם G חבורה סופית ו G H סגורה לכפל, אז H תת חבורה. תרגיל (**) 3.6.7.1 אם N תת חבורה של,G ו M תת חבורה של,H אז N M תת חבורה של.G H 2. תן דוגמא לחבורה G H עם תת חבורה שאינה מתקבלת בצורה זו. H G 1 G 2 אז אם H, G 1, G 2 תת חבורות של.G תרגיל (**) 3.6.8 תהיינה.H או G 2 H G 1 תרגיל (***) 3.6.9 מצא דוגמא לתת חבורות H G 1 G 2 G 3 כך ש H אינה מוכלת בשום איחוד.G i G j הדרכה. קח.G = Z 2 Z 2 Z 2 25

פרק 3. חבורות ותת חבורות 3.6. תת חבורות 26

פרק 4 משפט לגרנז' לאחר שהצגנו את מושגי היסוד בפרק הקודם, נוכיח את משפט לגרנז', שהוא התוצאה החשובה הראשונה בתורת החבורות, ונפגוש כמה שימושים שלו. מושגים. יוצרים ותת החבורה הנוצרת. קוסט. מחזור, חילוף. סדר של איבר. משפט פרמה, משפט אוילר, שאריות ריבועיות. חבורה ציקלית. כפל של תת חבורות. 4.1 יוצרים של חבורה ותת החבורה הנוצרת תרגיל (*) 4.1.1 נניח ש H 1, H 2 G תת חבורות. הוכח שהחיתוך H 1 H 2 גם הוא תת חבורה. תרגיל (*) 4.1.2 נניח ש H 1,..., H n תת חבורות של חבורה.G הוכח שהחיתוך H 1 H n גם הוא תת חבורה. טענה 4.1.3 החיתוך של משפחה כלשהי של תת חבורות של G הוא תת חבורה. ב'משפחה כלשהי' הכוונה היא למשפחה שאינה דווקא סופית או בת מניה. יתכן למשל שלכל מספר ממשי α R מותאמת תת חבורה H, α G ואז הטענה היא ש α R H α G. תרגיל (**) 4.1.4 הוכח את הטענה. תהי X G תת קבוצה כלשהי של אברים בחבורה. תרגיל (**) 4.1.5 הוכח שהחיתוך של כל תת החבורות של G המכילות את X הוא תת החבורה הקטנה ביותר המכילה את X (כלומר, זוהי תת חבורה המכילה את X, ומוכלת בכל תת חבורה אחרת המכילה את X). תרגיל (**) 4.1.6 הוכח שהאוסף של כל המכפלות הסופיות ב G של אברים מ X או מ } X,X 1 = { x 1 : x הוא תת החבורה הקטנה ביותר המכילה את.X הגדרה 4.1.7 תת החבורה שהוגדרה בכל אחד משני התרגילים הקודמים נקראת תת החבורה הנוצרת על ידי X, ומסמנים אותה ב X. אם X G, = אומרים ש X היא קבוצת יוצרים של G. 27

4.1. יוצרים של חבורה ותת החבורה הנוצרת פרק 4. משפט לגרנז' לכתיב X יש משמעות רק כאשר X היא תת קבוצה של חבורה ידועה G, המובת מן ההקשר. תרגיל (***) 4.1.8 הוכח שלחבורה U 60 אין קבוצת יוצרים של שני אברים, ומצא קבוצת יוצרים עם שלושה אברים. תרגיל (*) 4.1.9 תהי H G תת חבורה, ותהי X G תת קבוצה כלשהי. אז. X H אם ורק אם X H תרגיל (**) 4.1.10 הוכח שתת החבורה V = (12)(34), (13)(24) S 4 איזומורפית ל.U 8 תרגיל (***) 4.1.11 הוכח שתת החבורה (13) (1234), של S 4 איזומורפית ל.D 4 תרגיל (**) 4.1.12 מצא את אברי תת החבורה של S 6 הנוצרת על ידי (263)(145) ו ( 15)(36 ). תרגיל (**) 4.1.13 מצא את אברי תת החבורה S 8 (1526)(3847). (1324)(5768), תרגיל (**) 4.1.14 זהה או תאר את החבורות הנוצרות על ידי קבוצות המטריצות בכל מקרה? ( החבורה ) מה סדר ( בפרט, ) הבאות..D, E 2 הוא השורש הרביעי של ;(1 i (כאן.E = i 0 0 i = 0 1 D ו 1 0 א. ( ) ( ) 3 1+ = ω הוא השורש השלישי של.(1 2 ) G = ω 0 0 ו ω 2 F = 0 1 1 0 ב. B ו = A = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 תרגיל (***) 4.1.15 זהה את החבורה הנוצרת על ידי.C = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; על ידי A ו 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4.1.1 יוצרים של S n הגדרה 4.1.16 מחזור באורך 2 ב S n נקרא חילוף. כלומר, החילופים הם איברים מהצורה (j i). איבר 1 x בחבורה הוא (מסדר (2 אם = 1 2 x (ראה סעיף.(4.3 תרגיל (*) 4.1.17 כל חילוף הוא איבר מסדר 2. תרגיל (*) 4.1.18 הראה שלא כל איבר מסדר 2 ב n) (4 S n הוא חילוף. תרגיל (**) 4.1.19 n S נוצרת על ידי כל החילופים.(ij) הדרכה. בדוק ש = t) (a 1... a.(a 1 a t ) (a 1 a 2 ) (1j). נוצרת על ידי כל החילופים S n תרגיל (**+) 4.1.20 28

משפט לגרנז' 4.2. קוסטים ומשפט לגרנז' פרק 4. תרגיל 4.1.21 ( ***) S n נוצרת על ידי האברים 1) + i.i = 1,..., n 1,σ i = (i הראה ש 1 = i σ i σ j = σ j σ i,σ 2 אם > 1 j ) σ i σ i+1 σ i = σ i+1 σ i σ i+1, i זוהי 'הצגת 'Coxeter של החבורה הסימטרית). תרגיל (***) 4.1.22 n S נוצרת על ידי החילוף (12) = τ והמחזור n).σ = (1 2 3 הדרכה. חשב את σ k τσ k ואת.σ j (τσ 1 ) j i τ(στ) i j σ j τ = והחילוף σ = (1 2 3 n 1) נוצרת על ידי המחזור S n תרגיל (***) 4.1.23.(1 n) תרגיל 4.1.24 ( ***) אם p ראשוני, כלשהו. S p נוצרת על ידי איבר כלשהו מסדר p וחילוף תרגיל (***) 4.1.25 הפרך את הטענה הבאה: אם p ראשוני, S p נוצרת על ידי איבר כלשהו מסדר p ואיבר כלשהו מסדר 2. תרגיל (**) 4.1.26 מצא את תת החבורה של S 4 הנוצרת על ידי כל המחזורים מהצורה,(abc) a, b, c שונים. תרגיל (**) 4.1.27 מצא את תת החבורה של S 4 הנוצרת על ידי כל התמורות מהצורה,(ab)(cd) a, b, c, d שונים. תרגיל (**) 4.1.28 מצא את הגודל של חבורות התמורות הבאות: S 5 (23)(45). (12), א. S 5 (345) (12), ב. S 6 (123456). (12), ג. תרגיל 4.1.29 ( ***) יהי T עץ על הקודקודים, m...,2,1. לקשת המחברת את הקודקודים,i j מתאימים את החילוף (j,i). הוכח שמכפלת הקשתות על העץ, בכל סדר שיהיה, היא מחזור באורך m. 4.2 קוסטים ומשפט לגרנז' תהיינה G חבורה ו G H תת חבורה. לכל,x G אנו מסמנים H} Hx = {hx : h ו { H.xH = {xh : h הגדרה 4.2.1 הקבוצות Hx נקראות קוסטים שמאליים של H, והקבוצות - xh קוסטים ימניים של H. נגדיר יחס שקילות על החבורה x H y :G אם.xy 1 H תרגיל (+*) 4.2.2 הוכח שהיחס H הוא יחס שקילות. תרגיל (*) 4.2.3 מחלקות השקילות של היחס H הן מהצורה.Hx הסק: כמחלקות שקילות, שתי מחלקות Hx, Hy הן או שוות או נחתכות באופן ריק (קל להוכיח זאת כמובן גם באופן ישיר). תרגיל (*+) 4.2.4 Hy היא קבוצת האיברים x G שעבורם.y Hx 29

4.3. סדר של איבר פרק 4. משפט לגרנז' תרגיל (**) 4.2.5 לכל, Hx = Hy,x, y G ובפרט H. Hx = תרגיל (*) 4.2.6 אם G אבלית, אז Hg = gh לכל איבר g G ותת חבורה.H G הגדרה 4.2.7 האינדקס (השמאלי) של H ב G הוא מספר הקוסטים השמאליים של H בחבורה. את האינדקס מסמנים ב.[G:H] תרגיל (+**) 4.2.8 האינדקס הימני של H ב G הוא מספר הקוסטים הימניים. הוכח שהאינדקס הימני תמיד שווה לשמאלי. הדרכה. חשוב על הפונקציה Hx x 1 H (מדוע לא (?Hx xh משפט 4.2.9 (משפט לגרנז') אם H G חבורות סופיות, אז H מחלק את G. תרגיל (**) 4.2.10 הראה ש G,[G:H] H = והסק את משפט לגרנז'. תרגיל (+**) 4.2.11 נסמן ב A 4 את תת החבורה של S 4 הכוללת, מלבד הזהות, את התמורות שיש להן נקודות שבת אחת, ואת אלו המחליפות שני זוגות של ערכים. הוכח שזו אכן תת חבורה. מה האינדקס שלה? תרגיל (**) 4.2.12 נסמן ב V את תת החבורה של A 4 הכוללת, מלבד הזהות, את כתוב את הוכח שזו אכן תת חבורה. התמורות המחליפות שני זוגות של ערכים. הקוסטים הימניים והשמאליים שלה ב A. 4 של תת החבורות = H { והשמאליים ( הימניים ) ( את הקוסטים )} רשום { (**) ( תרגיל 4.2.13 )} בחבורה.S 3 K = I, 1 2 3 2 3 1, 1 2 3 3 1 2 I, 1 2 3 ו 2 1 3 תרגיל (**) 4.2.14 מצא את הקוסטים של 31,41,49 בחבורה U. 120 (מה האינדקס שלה?) 4.3 סדר של איבר הגדרה 4.3.1 יהי a. G הסדר של האיבר a הוא > 0 n הקטן ביותר שעבורו = 1 n a, אם קיים כזה; אחרת אומרים שהסדר הוא אינסוף. אנו מסמנים את הסדר ב ( o(a. תרגיל (*) 4.3.2 אם a H G אז הסדר של a ב H שווה לסדר ב G. תרגיל (+*) 4.3.3 הוכח שהסדר של a שווה לסדר של תת החבורה הנוצרת, a. תרגיל 4.3.4 ( **) מצא את הסדר של כל אחד מהאיברים בחבורה D. 4 אחת ההבחנות השימושיות בתורת החבורות הסופיות: תרגיל (*) 4.3.5 הסדר של איבר a G מחלק את סדר החבורה. תרגיל (*) 4.3.6 בחבורה סופית, יש N כך ש 1 = N a לכל a. טענה = 1 4.3.7 n x אם ורק אם.o(x) n 30

משפט לגרנז' 4.4. יישומים בתורת המספרים פרק 4. תרגיל (**) 4.3.8 אם x, y G מתחלפים ו 1 = o(y)),(o(x), אז o(x)o(y).o(xy) = תרגיל 4.3.9 ( ***) הסדר של (y,x) בחבורה G H הוא הכפולה המשותפת המינימלית.o(x)o(y) o(xy) ומצא הצבה מתאימה כדי להוכיח,o(xy) o(x)o(y) הדרכה. הראה ש.[o(x), o(y)] תרגיל (**) 4.3.10 תהי } n G = {a 1,..., a חבורה אבלית. נסמן.b = a 1 a 2 a n א. הוכח: = 1 2.b ב. אם יש איבר יחיד מסדר 2, הוא שווה ל b. ד. בכל חבורה אבלית מסדר זוגי יש איבר מסדר 2. ג. אם יש יותר מאיבר אחד מסדר 2, אז = 1 b. רמז. חשוב על xy},1}.,x,y ה. אם G מסדר אי זוגי אז = 1 b. תרגיל (***) 4.3.11 בחבורה מסדר זוגי יש איבר מסדר 2 (ראה משפט 10.2.1). תרגיל (***) 4.3.12 הוכח: בחבורה מסדר 2p יש איבר מסדר p. הדרכה. אם קיים איבר מסדר p או - 2p סיימנו. לכן נניח שכל האברים מסדר,1. 2 אבל אז, קח a b מסדר 2, והעזר בתרגיל 3.4.6 כדי לקבל ש 2p 4. תרגיל 4.3.13 ( ***) יהי p מספר ראשוני. הראה שמספר האברים מסדר p בחבורה.(p מתחלק ב ( 1 G הוכח ש,a U nm ו a הנציג של a ב.U n תרגיל (**) 4.3.14 נניח,n m ויהיו.ord Unm (a) m ord Un (a) תרגיל (**) 4.3.15 מצא את הסדר של המחזור ) t,(r 1 r ואת הסדר של = σ.n i הם מחזורים זרים מאורכים τ i ו,τ 1 τ u תרגיל (**) 4.3.16 אין ב S 4 איבר מסדר ) 6 למרות ש 24.(6 תרגיל (**) 4.3.17 מצא ב S 7 איבר מסדר,5.,6,7 10 למה אין איבר מסדר 8? 4.4 יישומים בתורת המספרים תרגיל (*) 4.4.1 אם p ראשוני אז 1 p. U p = φ(p) = נזכיר ששדה הוא מבנה אלגברי F עם חיבור וכפל, שבו (0,+,F) חבורה אבלית, (1,,{0} F) חבורה אבלית, והכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור. תרגיל 4.4.2 ( ***) אם p ראשוני, אז Z p (עם החיבור והכפל מודולו p) הוא שדה. תרגיל (+*) 4.4.3 מצא את האברים מסדר 2 ב U. p משפט 4.4.4 (משפט פרמה הקטן) אם p ראשוני, אז לכל a זר ל p, a. 1 p 1 (mod (p תרגיל (**) 4.4.5 הוכח את המשפט, על ידי התבוננות בסדר של [a]. U p תרגיל (*) 4.4.6 חשב את 11) (mod 48.6 תרגיל (**) 4.4.7 לכל n שלם, 30).n 5 n (mod 31

4.4. יישומים בתורת המספרים פרק 4. משפט לגרנז' תרגיל (**) 4.4.8 הראה שאם a זר ל 6, אז 24).a 2 1 (mod משפט 4.4.9 (משפט אוילר) לכל,n אם a זר ל n,.a ϕ(n) 1 (mod n) תרגיל (*) 4.4.10 הסבר כיצד משפט אוילר מכליל את משפט פרמה הקטן. תרגיל (**) 4.4.11 לכל שני מספרים,a, n מתקיים 1) n.n ϕ(a תרגיל 4.4.12 ( ***) לא קיים פתרון למשוואה 31).x 3 2 (mod 4.4.1 פונקציית אוילר תרגיל (*+) 4.4.13 אם p ראשוני, אז 1) (p.φ(p a ) = p a 1 תרגיל (***) 4.4.14 אם,n m זרים אז φ(n)φ(m).φ(nm) = הדרכה. משפט השאריות הסיני. המספרים הזרים ל nm הם אלו שזרים ל n ול m, תרגיל 1.3.31. משני התרגילים האחרונים מתקבלת הנוסחה φ(p α 1 1 pα t t ) = (p 1 1)p α 1 1 1 (p t 1)p α t 1 t. תרגיל (*) 4.4.15 חשב את φ(540).φ(1000), φ(480), תרגיל (**) 4.4.16 אם n m אז.φ(n) φ(m) תרגיל (***) 4.4.17 מצא את כל הערכים של n המקיימים 6 φ(n) בשתי דרכים; לפי הנוסחה ל,φ(n) ובדרך הבאה: הראה שאם p n אז 6 1 p. הסק ש U n 31 11, 13, 17, 19, 23, 29, ולכן 20.n מצא את המועמדים שיש לבדוק. n תרגיל (***+) 4.4.18 הוכח ש = 0 כל הגורמים הראשוניים של n קטנים מ. מכיוון שיש אינסוף ראשוניים,. n.lim inf הדרכה. נניח ש,φ(n) m אז φ(n) תרגיל (***) 4.4.19 בכל תת חבורה לא טריוויאלית של (p U p n ראשוני), סכום האיברים מתחלק ב p. n 4.4.2 שאריות ריבועיות הגדרה 4.4.20 יהי n מספר טבעי. מספר a (זר ל n ) נקרא שארית ריבועית מודולו n אם קיים x U n כך ש n).x 2 a (mod תרגיל (**) 4.4.21 נניח ש m,n מספרים זרים. הראה ש a שארית ריבועית מודולו nm אם ורק אם הוא שארית ריבועית מודולו n וגם מודולו m. הדרכה. העזר במשפט השאריות הסיני, משפט 1.5.6. ( ) a אם a הוא שארית ריבועית, ו p הגדרה 4.4.22 אם p ראשוני, סימן לז'נדר מוגדר כ 1+ = ( ) 1 = אחרת. a p 32

משפט לגרנז' 4.4. יישומים בתורת המספרים פרק 4. הראה שאם p) x 2 y 2 (mod אז y ±x ( )( ) תרגיל (**) 4.4.23 נניח ש p ראשוני..(mod p) ( ) ab. הדרכה. העזר בתרגיל p = a b p p 4.4.23 כדי להראות שבדיוק מחצית מבין האברים ב p U הם שאריות ריבועיות. תרגיל (***) 4.4.24 נניח ש p ראשוני, אז (. הדרכה. תרגיל 10.6.27. a p ) = a p 1 תרגיל (**) 4.4.25 נניח ש p ראשוני. 2 תרגיל (**) 4.4.26 הראה ש 1 הוא שארית ריבועית מודולו הראשוני p אם ורק אם.(p = 2 (או p 1 (mod 4) ( a ) n = סימן יעקובי מוגדר כמכפלה,a Un ו,n = p α1 הגדרה 4.4.27 עבור n איזוגי, pαt t 1 ( ) α1 ( ) αt a. p 1 a p t ( a, אבל n) תרגיל (**+) 4.4.28 אם a Un הוא שארית ריבועית מודולו n אז +1 = ההיפך אינו בהכרח נכון. 4.4.3 בדיקת ראשוניות נתון מספר n. האם הוא ראשוני? בדיקת כל המחלקים הפוטנציאליים עד n (בפחות מזה אי אפשר להסתפק) היא תהליך מאד לא יעיל. יישום נכון של משפט לגרנז' לחבורת אוילר נותן מבחנים יעילים בהרבה. לפי משפט פרמה, אם n ראשוני, אז לכל a זר ל n מתקיים (n a. 1 n 1 (mod מכן נובע שאם (n a 1 n 1 (mod עבור a כלשהו, אז n אינו ראשוני. הסיבוכיות של ביצוע המבחן הפשוט הזה עבור a אקראי היא רק (n O(log 3 (תרגיל 4.5.3), והוא לוכד את רוב המספרים שאינם ראשוניים. עם זאת, יש מספרים n שאינם ראשוניים ובכל זאת מקיימים מספר כזה נקרא פסאודו ראשוני לפי פרמה ביחס ל a. a. 1 n 1 (mod (n תרגיל (**) 4.4.29 הראה ש 31 11 = 341 הוא פסאודו ראשוני לפי פרמה ביחס ל 2 (ואינו ראשוני). תרגיל 4.4.30 ( ***) הראה ש 561 פסאודו ראשוני לפי פרמה ביחס לכל a. U 561 מספר כזה נקרא מספר קרמייקל (ראה תרגיל 10.6.44.) a n 1 מספר איזוגי n, שאינו ראשוני, נקרא פסאודו ראשוני לפי אוילר ביחס ל a אם 2.±1 (mod n) תרגיל (+**) 4.4.31 כל פסאודו ראשוני לפי אוילר הוא פסאודו ראשוני לפי פרמה. תרגיל 4.4.32 ( ***) 19 13 7 = 1729 הוא פסאודו ראשוני לפי אוילר, ביחס לכל.a יש אלגוריתם, מבוסס על 'משפט ההיפוך הריבועי של גאוס', המאפשר חישוב מהיר של סימן יעקובי (הגדרה 4.4.27). אלגוריתם זה הופך את ההגדרה הבאה לאפקטיבית: המספר.a n 1 2 ( a n) (mod (n אם הוא פסאודו ראשוני לפי יעקובי ביחס ל a n תרגיל (+*) 4.4.33 כל פסאודו ראשוני לפי יעקובי הוא פסאודו ראשוני לפי אוילר. למרות שיש מספרים שהם פסאודו ראשוניים לפי יעקובי ביחס לערכים מסויימים של a, אין אף מספר שהוא פסאודו ראשוני כזה ביחס לכל a (כלומר, אין אנלוג יעקובי של מספרי 1 n a למספיק ערכים של a, הוא 2 ( a n) קרמייקל). מכאן שאם מספר n מקיים (n (mod מוכרח להיות ראשוני. עובדה זו היא הבסיס ל''מבחן סולובי שטרסן'' לבדיקת ראשוניות. 33

4.5. שימושים להצפנה פרק 4. משפט לגרנז' 4.5 שימושים להצפנה סעיף זה מניח היכרות, ולו שטחית, עם מושג הסיבוכיות. הצפנה, אחד הכלים החשובים ביותר בתקשורת המודרנית, היא הסתרה של מידע סודי, באופן שרק בעלי ה'מפתח' יכולים לקרוא את הסוד. יש תרחישים רבים ופרוטוקולים לאינספור, המסתמכים על הקושי האלגוריתמי לפתור בעיות מסויימות בתורת המספרים. תרגיל (**) 4.5.1 הראה שהסיבוכיות של ביצוע פעולת חיבור היא ליניארית באורך הקלט, ושהסיבוכיות של פעולת הכפל היא (לכל היותר) ריבועית. תרגיל (**) 4.5.2 הראה שהסיבוכיות של פעולת הרדוקציה של מספר מודולו n היא ליניארית באורך הקלט. הראה שהסיבוכיות של פעולות חיבור וכפל מודולריות אינה גדולה משל אותן פעולות כשלעצמן. בפעולת העלאה בחזקה יש בעיה, משום שהתוצאה עלולה להיות ארוכה מאד ביחס לקלט. כאן באה לעזרתנו האריתמטיקה המודולרית. תרגיל (**) 4.5.3 הראה שהסיבוכיות של פעולת ההעלאה בחזקה מודולו n היא (לכל היותר) ממעלה שלישית באורך הקלט. תרגיל (***) 4.5.4 מהי הסיבוכיות של מציאת ההפכי בחבורת אוילר? (ראה תרגיל (.3.3.12 RSA 4.5.1 הצפנה בשיטת RSA (על שם הממציאים ריבסט, שמיר ואלדמן) נועדה לאפשר לכל אדם להצפין, אבל רק לבעל הסוד - לפענח. אם שני צדדים מבקשים לשוחח באופן סודי, על כל אחד מהם לממש את השיטה על המסרים המיועדים אליו. הגדרה 4.5.5 בהצפנה בשיטת,RSA בעל הסוד בוחר שני מספרים ראשוניים גדולים,p, q ומפרסם את המכפלה n = pq ומספר נוסף d (זר ל n ). כדי להצפין x, U n יש לחשב את y. = x d כדי לפענח, בעל הסוד מוצא (פעם אחת, באמצעות תרגיל (3.3.12 את ההפכי,e = d 1 U n ומחשב.x = y e תרגיל (**) 4.5.6 הוכח שפעולת הפענוח בשיטת RSA אכן מחזירה את הסוד x. אחת הבעיות הקלאסיות הנחשבות לקשות היא בעיית הפירוק: למצוא את הפירוק של מספר נתון n לגורמיו הראשוניים. אלגוריתמים של בית ספר מראים שהסיבוכיות אינה עולה על (n )O. את הסיבוכיות הטובה ביותר משיגות שיטות נפה מתוחכמות:.c = 4 עבור 3 2/3,O(e c log(n)1/3 log log(n) 2/3 ) תרגיל (+**) 4.5.7 הראה שעבור מספרים מהצורה n, = pq כאשר,p q ראשוניים, בעיית הפירוק שקולה מבחינה אלגוריתמית לבעיה של חישוב פונקציית אוילר = φ(n).(p 1)(q 1) תרגיל (+**) 4.5.8 הסבר כיצד ידיעת e (בנוסף לידיעת,d) n בשיטת RSA מאפשרת למצוא את.φ(n) אם כך, היכולת לפענח ''לפי הספר'' בשיטת RSA שקולה ליכולת לחשב את,φ(n) השקולה ליכולת לפרק את n. אם מאמינים שקשה לפרק את n, זוהי ראיה לבטיחות השיטה. עם זאת יש להעיר שאיש טרם הוכיח שהיכולת לפענח הצפנה זו שקולה ליכולת לפרק (משום שאולי אפשר למצוא את x מידיעת x d בלי לדעת את e). 34

משפט לגרנז' 4.6. חבורות ציקליות פרק 4. 4.5.2 שיטת רבין נציג כעת את שיטת ההצפנה שפיתח מיכאל רבין, והקרויה שיטת רבין על שמו. בהקשר זה, U pq (תרגיל.(10.6.18 טוב לדעת שלכל שני ראשוניים שונים = Up U q,p, q ( ).z p+1 תרגיל (**) 4.5.9 יהי p ראשוני. הראה שלכל = z,z U p 2 z p תרגיל (**) 4.5.10 נניח ש ( 4 p 3 (mod ראשוני. הראה שלכל,x U p בדיוק אחד מבין המספרים x± הוא שארית ריבועית. הדרכה. תרגילים 4.4.26 ו 4.4.24. תרגיל (**+) 4.5.11 יהי 4) p 3 (mod ראשוני. נניח ש.y = x 2 U p הראה ש 1+p היא הפעולה של הוצאת שורש מן הערך 4 1+p y. כלומר, העלאה בחזקת 4 = ±x x± שיש לו שורש (בהמשך לתרגיל 4.5.10). תרגיל 4.5.11 מראה שאם (4 p, 3 (mod אפשר, בקלות יחסית, לחשב שורשים ריבועיים מודולו p. כמו שיטת,RSA שיטת רבין נועדה לאפשר לכל אדם להצפין, אבל רק לבעל הסוד - לפענח. נציג כאן גרסה מפושטת, שבה הפענוח אינו שלם. הגדרה 4.5.12 בהצפנה בשיטת רבין, בעל הסוד בוחר שני מספרים ראשוניים גדולים,p q המקיימים.y = יש לחשב את x 2,x U n כדי להצפין.n = pq ומפרסם את המכפלה,p, q 3 (mod 4) q+1,b = y ומרכיב בעזרת משפט 4 (mod ו ( q a = y p+1 כדי לפענח, בעל הסוד מחשב את (p (mod 4 השאריות הסיני את ארבעת המספרים מודולו n = pq השקולים ל ( p a± (mod ול ( q b±. (mod תרגיל (**) 4.5.13 הראה שאחד הערכים שקיבל המפענח בשיטת רבין שווה לערך המוצפן x. תרגיל (***) 4.5.14 הראה שיריב המסוגל לחשב מתוך x 2 U n את ארבעת הערכים שמקבל בעל הסוד בשיטת רבין, כאשר n, = pq מסוגל לפרק בקלות את n לגורמיו הראשוניים. התרגיל האחרון (בהתאמות הנדרשות לכך שלא תיארנו כאן את השיטה במלואה) מראה שהדרך היחידה לפענח, באופן שיטתי, סודות המוצפנים בשיטת רבין, היא לפרק את המספר n = pq לגורמים. 4.6 חבורות ציקליות הגדרה 4.6.1 חבורה הנוצרת על ידי איבר יחיד נקראת חבורה ציקלית. במלים אחרות, חבורה G היא ציקלית אם יש איבר x G כך שכל איבר בחבורה הוא חזקה של x. כל חבורה מכילה תת חבורות ציקליות - אלו הנוצרות על ידי איברים בודדים בחבורה. תרגיל (**) 4.6.2 כל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית. תרגיל (*) 4.6.3 הוכח שחבורה ציקלית היא אבלית. תרגיל (+*) 4.6.4 הוכח שחבורה מסדר n היא ציקלית אם ורק אם יש בה איבר מסדר.n תרגיל (**) 4.6.5 הוכח ש U 9 ו U 11 ציקליות, וש U 12 ו U 16 אינן ציקליות. 35